Теорема о компактном множестве

Если $K$ - компактное, то $K$ - ограниченное и замкнутое

Ограниченность очевидна. Докажем замкнутость. Будем использовать свойства открытых и замкнутых множеств. Пусть $A$ – компактно, возьмем $x \in X \setminus A$. Тогда $$\forall{a \in A}~~ \exists{O(a), O(x)}\mathpunct{:}~~ O(a) \cap O(x) = \varnothing$$ $P = \bigcup_{a \in A} O(a)$ - покрытие множества $A$, значит найдутся $\bigcup_{k=1}^n O(a_k) \supset A$. Рассмотрим $O_k(x) \cap O(a_k) = \varnothing$. Тогда $G = \bigcap_{k=1}^n O_k(x)$ - окрестность $x$ и $G \cap A = \varnothing$. Значит $G \subset X \setminus A$ и открыто. Но тогда $X \setminus A$ – открыто, а $A$ – замкнуто. $\square$

Не всякое ограниченное и замкнутое множество является компактным. Например, замкнутый единичный шар в $l^{2}$ - пространстве всех бесконечных последовательностей, сумма квадратов которых сходится: $\sum\limits_{i=1}^{\infty} |x_{i}|^{2} < \infty$